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f_p(x+1)-f_p(x) = (x+1 - (x+1)\ mod\ p) - (x - x\ mod\ p) = 1 + (-1) \ mod\ p \ge 0 であることから f(x) について単調性が示せた。gf の合成関数であることから同じく単調性を持つ。
  • g(N) \le 2 なる N については単調であって、ある値 x までは条件を満たし、x よりも大きい値は条件を満たさない
  • g(N) \ge 2 なる N については単調であって、ある値 x までは条件を満たさず、x よりも大きい値は条件を満たす

よって、それぞれの最小/最大値が二分探索で求められることになる。

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  • 二分探索の評価関数を工夫する
  • ある値x以下 かつ ある値以上 は ある値